On the birational geometry of toric Fano 4-folds

In this Note, we announce a factorization result for equivariant birational morphisms between toric 4-folds whose source is Fano: such a morphism is always a composite of blow-ups along smooth invariant centers. Moreover, we show with a counterexample that, differently from the 3-dimensional case, even if both source and target are Fano, the intermediate varieties can not be chosen Fano. Sur la géométrie birationnelle des variétés toriques de Fano de dimension 4 Résumé . Dans cette Note, nous annonçons un résultat de factorisation pour les morphismes birationnels équivariants entre variétés toriques de dimension 4, ayant comme source une variété de Fano: un tel morphisme est toujours donné par une suite d’éclatements le long de sous-variétés lisses invariantes. Nous montrons à l’aide d’un contrexemple que, à la différence du cas de la dimension 3, même si la source et le but sont de Fano, les variétés intermédiaires ne peuvent pas être choisies de Fano. Version française abrégée Dans cette Note, on s’intéresse aux morphismes birationnels équivariants entre variétés toriques de dimension 4, dans le cas où la source est une variété de Fano. En dimension 3 Sato [9], grâce à l’étude des applications birationnelles entre variétés toriques de Fano, obtient d’une nouvelle façon la classification des variétés toriques de Fano de dimension 3 et complète la classification en dimension 4. En particulier il obtient le: Théorème 2.1 (Sato [9]). — Soient Y et X deux variétés toriques de Fano de dimension 3 et f :Y → X un morphisme birationnel équivariant. Alors il existe une suite Y = Xr φr −→ Xr−1 φr−1 −→ · · · · · · φ2 −→ X1 φ1 −→ X0 = X telle que pour tout i = 1, . . . , r φi est un éclatement le long d’une sous-variété invariante lisse, Xi est une variété torique de Fano et f = φ1 ◦ . . . ◦ φr. Rappelons que en général un morphisme birationnel ne se factorise pas comme une suite d’éclatements le long de sous-variétés lisses, même dans le cas torique. La démonstration du théorème 2.1 est obtenue en deux étapes: 1) en supposant Y de Fano, on montre que f :Y → X admet une factorisation en une suite d’éclatements le long de sous-variétés lisses invariantes; 2) on montre que si de plus X est de Fano, toutes les variétés intermédiaires doivent être de Fano. En dimension 4 nous montrons que seul 1) reste vrai: 1 Partially supported by the European project EAGER.